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ついに証明された「abc予想」。その偉業を数学芸人が超解説!

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a + b = c
を満たす、互いに素な自然数の組 (a, b, c) に対し、積 abc の互いに異なる素因数の積を d と表す。このとき、任意の ε > 0 に対して、

c > d1+ε
を満たす組 (a, b, c) は高々有限個しか存在しないであろうか?

ABC予想(ABCよそう、英: abc conjecture, 別名:オステルレ–マッサー予想、英: Oesterlé–Masser conjecture)は、1985年にジョゼフ・オステルレとデイヴィッド・マッサーにより提起された数論の予想である。これは多項式に関するメーソン・ストーサーズの定理の整数における類似であり、互いに素でありかつ a + b = c を満たすような3つの自然数(この予想に呼び方を合わせると)a, b, c の和と積の関係について述べている[1][2]。
ABC予想は、この予想から数々の興味深い結果が得られることから有名になった。数論における数多の有名な予想や定理が ABC予想から直ちに導かれる。
Goldfeld (1996) は、ABC予想を「ディオファントス解析で最も重要な未解決問題」であるとしている。

定式化[編集]
自然数 n に対して、n の互いに異なる素因数の積を n の根基 (radical) と呼び、rad n と書く。以下に例を挙げる。

p が素数ならば、rad(p) = p.
rad(8) = rad(23) = 2.
rad(45) = rad(32 ⋅ 5) = 3 ⋅ 5 = 15.自然数の組 (a, b, c) で、a + b = c, a < b で、a と b は互いに素であるものを abc-triple と呼ぶ。大抵の場合は c < rad(abc) が成り立つが、ABC予想が主張するのはこれが成り立たない例(例えば、a = 1, b = 8 のとき c = 9 であり、rad(abc) = 6 である)の方である。ただし、c > rad(abc) が成り立つ例も無限に存在する[注 1][注 2]ため、rad(abc) を少しだけ大きくすることで例を有限個にできないかどうかを考える。すなわち、ABC予想は任意の ε > 0 に対して、次を満たすような自然数の組 (a, b, c) は高々有限個しか存在しないであろうと述べている:

c>rad⁡(abc)1+ε.displaystyle c>operatorname rad (abc)^1+varepsilon .これと同値な他の定式化(Oesterlé–Masser の ABC予想)として次のものがある。すなわち、任意の ε > 0 に対してある K(ε) > 0 が存在し、全ての abc-triple (a, b, c) について次が成り立つという:

c<K(ε)⋅rad⁡(abc)1+εdisplaystyle c<K(varepsilon )cdot operatorname rad (abc)^1+varepsilon
(K(ε) を ε に依らずに取ることはできない。)三つ目の定式化は「質」(quality) と呼ばれる概念を導入して表現する。abc-triple (a, b, c) に対して、質 q(a, b, c) を次のように定義する:

q(a,b,c):=log⁡clog⁡(rad⁡(abc)).displaystyle q(a,b,c):=frac log clog(operatorname rad (abc)).このときABC予想は、任意の ε > 0 に対して、abc-triple (a, b, c) であって q(a, b, c) > 1 + ε を満たすものは高々有限個しか存在しないということを主張している。
現在、q(a, b, c) > 1.6 を満たす abc-triple は後述の通り3組しか知られていない。q(a, b, c) を 2 まで大きくすれば、そうした abc-triple は存在しないという予想もある。すなわち「全ての abc-triple (a, b, c) に対して、c < rad(abc)2を満たすであろう」という主張だが、こちらも肯定も否定もされていない[注 3]。

得られる結果の例[編集]
ABC予想を真だと仮定すると、多数の系が得られる。その中には既に知られている結果もあれば、予想の提出後に予想とは独立に証明されたものもあり、部分的証明となるものもある。ABC予想がもし早期に証明されていたなら、得られる系という意味での影響はもっと大きかったが、ABC予想が成立した場合に解決される予想はまだ残っており、また数論の深い問題と数多くの結び付きがあるので、ABC予想は依然として「重要な問題」であり続けている。「有限個に限定される」ことが結論である命題(予想)の証明に役に立つ。

トゥエ=ジーゲル=ロスの定理
代数的数のディオファントス近似に関する定理。フェルマーの最終定理

ただし指数が十分大きい場合。どの程度大きければよいかは K(ε) に依存する。定理自体は、ABC予想とは独立にワイルズが証明した。ある K(ε) が具体的に求まれば、有限個の例外を直接計算することにより、原理的にはすべての指数 ≥ 4 に対して証明が可能である。ε = 1 のとき K(1) = 1 という予想もあり、この仮定の下で、指数が 6 以上の場合は直ちに証明される (Granville & Tucker 2002)[注 4]。モーデル予想(ファルティングスの定理)
(Elkies 1991)エルデシュ=ウッズ予想(英語版)
ただし有限個の反例を除く (Langevin 1993)。非ヴィーフェリッヒ素数(英語版)が無限個存在すること
(Silverman 1988)。弱い形のマーシャル・ホール予想(英語版)
平方数と立方数の間隔に関する予想 (Nitaj 1996)。フェルマー=カタラン予想
フェルマーの最終定理の拡張であり、冪の和である冪を扱う (Pomerance 2008)。ルジャンドル記号を用いて記述したディリクレのL関数 L(s, (-d/.)) がジーゲル零点(英語版)を持たないこと
正確には、このためには上で紹介している有理整数を扱うABC予想に加えて、代数体上の一様なABC予想を用いる。(Granville & Stark 2000)。Schinzel–Tijdeman theorem
P を少なくとも3つ以上の単根を持つ多項式とすると、P(1),P(2),P(3), … の中には高々有限個しか累乗数が存在しない、という定理 (1976)[3]。ティーデマンの定理(英語版)の一般化
ym = xn + k が持つ解の個数について。ティーデマンの定理は k = 1 の場合を述べている。また、Aym = Bxn + k が持つ解の個数に関するピライ予想 (1931)。グランヴィル=ランジュバン予想(英語版)と同値。
修正したスピロ予想。
これは境界として rad⁡(abc)65+εdisplaystyle scriptstyle operatorname rad (abc)^frac 65+varepsilon を与える (Oesterlé 1988)。任意の整数A について、n! + A = k2 が有限個の解しか持たないこと(一般化されたブロカールの問題)
(Dąbrowski 1996)と同値。コンピューティング(演算)による成果[編集]
2006年、オランダのライデン大学数学研究所は、さらなる abc-triple を発見しようと、Kennislink科学協会と共に分散コンピューティングシステム「ABC@homeプロジェクト」を立ち上げた。たとえ演算によって発見された例または反例が ABC予想を解決することができなくとも、このプロジェクトによって発見される組み合わせが、予想と整数論についての洞察に繋がることが期待されている。
q は上記で定義した abc-triple (a, b, c) の質 q(a, b, c) である。このとき、c の上限によって、質 q は以下のような分布を取る。

q > 1 となる abc-triple の質 q の分布[4]
cの値

q > 1

q > 1.05

q > 1.1

q > 1.2

q > 1.3

q > 1.4
c < 102

6
4
4
2
0
0
c < 103

31
17
14
8
3
1
c < 104

120
74
50
22
8
3
c < 105

418
240
152
51
13
6
c < 106

1,268
667
379
102
29
11
c < 107

3,499
1,669
856
210
60
17
c < 108

8,987
3,869
1,801
384
98
25
c < 109

22,316
8,742
3,693
706
144
34
c < 1010

51,677
18,233
7,035
1,159
218
51
c < 1011

116,978
37,612
13,266
1,947
327
64
c < 1012

252,856
73,714
23,773
3,028
455
74
c < 1013

528,275
139,762
41,438
4,519
599
84
c < 1014

1,075,319
258,168
70,047
6,665
769
98
c < 1015

2,131,671
463,446
115,041
9,497
998
112
c < 1016

4,119,410
812,499
184,727
13,118
1,232
126
c < 1017

7,801,334
1,396,909
290,965
17,890
1,530
143
c < 1018

14,482,059
2,352,105
449,194
24,013
1,843
160
2012年9月 (2012-09)現在[update]、ABC@homeは2310万個の3つ組を発見しており、当面の目標を 1020 を超えない c についての全ての abc-triple (a, b, c) を見つけることとしている[5]
質の大きいabc-triple[6]
番号

q

a

b

c

発見者
1

1.6299
2
310·109
235
Eric Reyssat
2

1.6260
112
32·56·73
221·23
Benne de Weger
3

1.6235
19·1307
7·292·318
28·322·54
Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski
4

1.5808
283
511·132
28·38·173
Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj
5

1.5679
1
2·37
54·7
Benne de Weger
2015年に、ABC@homeプロジェクトは合計2380万組の3つ組を見つけ、その直後にプロジェクトは終了した[7]
証明の試み[編集]
1985年の予想の提起から、数々の数学者によりABC予想の証明が試みられてきたが、現在数学界におけるコンセンサスは得られていない。

リュシアン・スピロの試み ~ 数を曲線に置き換える手法[編集]
ニューヨーク市立大学教授リュシアン・スピロ(英語版)は、ABC予想のaやbといった数を曲線に置き換えそれが交わることを示す戦略により証明を試みた[8]が、提案に至らなかった。

望月新一の試み  ~ たし算とかけ算を分離する手法[編集]
京都大学数理解析研究所教授の望月新一は、ABC予想を証明するためには「数学の世界に混ざり合うように存在しているたし算とかけ算を分離する必要がある[8]」考察により、「かけ算は成立するけど、たし算が成立しない数学世界を作ることで、たし算とかけ算を独立して扱う」数学的手法[9]によりABC予想の証明を提案した。
2012年8月、望月のABC予想証明のプレプリントが公開された[10]。
2012年10月、ヴェッセリン・ディミトロフ[11]とアクシェイ・ヴェンカテシュ[12]により「素数 “2 “で分割する悪い場所においては正しく機能しなくなる」との指摘があった。指摘により望月は、論文中の不等式に現れる定数の定義を変更する修正[13]を行った。(なお後に別論文で、楕円曲線の 6 等分点を用いる手法で、数体上の楕円曲線の高さを評価する、数値的に実効的な「強いABC予想」の証明を行った。)
2018年3月に、ペーター・ショルツェとジェイコブ・スティックスは、京都を訪れ、ABC予想の証明について望月と長時間議論を行った。その後、望月の証明の不等式導出の論理過程に反例があると主張[14]した。この指摘に対し望月は、「反例では理論にいくつかの簡略化がおこなわれ、それらの簡略化が誤り」と反論[15][16]した。一方、論文は指摘に対する追記修正がなされなかった。
2020年4月、論文誌PRIMSの編集委員会は記者会見を行い、「ABC予想を証明した望月氏の論文が正しいものであるとの判断し」て論文受理を発表[17]した。同会見では「内容に懐疑的な海外の数学者もいるが、望月教授自身が反論[18][19]もしており、(ショルツェ教授からの)再反論もない」との状況の認識であると表明[20]している。査読論文
2021年3月4日 ABC予想の弱い形を証明したとする査読論文

Shinichi Mochizuki (March 2021). “Inter-universal Teichmüller Theory I: Construction of Hodge Theaters”. Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences 57 (1/2(2021)): 3-207. https://ems.press/journals/prims/articles/201525. 
Shinichi Mochizuki (March 2021). “Inter-universal Teichmüller Theory II: Hodge–Arakelov-Theoretic Evaluation”. Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences 57 (1/2(2021)): 209-401. https://ems.press/journals/prims/articles/201526. 
Shinichi Mochizuki (March 2021). “Inter-universal Teichmüller Theory III: Canonical Splittings of the Log-Theta-Lattice”. Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences 57 (1/2(2021)): 403-626. https://ems.press/journals/prims/articles/201527. 
Shinichi Mochizuki (March 2021). “Inter-universal Teichmüller Theory IV: Log-Volume Computations and Set-Theoretic Foundations”. Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences 57 (1/2(2021)): 627-723. https://ems.press/journals/prims/articles/201528. 2022年7月 ABC予想の強い形を証明したとする査読論文

Shinichi Mochizuki,Ivan Fesenko,Yuichiro Hoshi,Arata Minamide,Wojciech Porowski (June 2022). “Explicit estimates in inter-universal-Teichmüller-theory”. Kodai Mathematical Journal 45 (2): 175-236. https://projecteuclid.org/journals/kodai-mathematical-journal/volume-45/issue-2/Explicit-estimates-in-inter-universal-Teichm%c3%bcller-theory/10.2996/kmj45201.full. 論文に対する反応
イギリスの科学誌ネイチャーは、予稿公開後、「望月の新たな数学的手法と言語により査読に時間がかかるだろう」と報じた[21]。また、論文受理後、「数学の世界では、雑誌の査読受理だけで終わらないことが多い。重要な結果は、それが正しいというコンセンサスが得られて初めて、真に認められた定理となるのだが、これを達成するには、論文が正式に発表されてから何年もかかることがある。」と報じた[22]。
2021年7月、ペーター・ショルツェは、Zentralblatt Math誌に、望月の論文誌PRIMS掲載の論文について、不等式導出の論理過程に批判的なレビュー[23]を寄稿した。
2022年4月10日、NHKはドキュメンタリー番組『NHKスペシャル 数学者は宇宙をつなげるか?abc予想証明をめぐる数奇な物語(前編)(後編)』[8][9]を放送した。番組では、以下の事柄を紹介した。

東工大の加藤文元教授(当時)の発言「IUTは、数学の基本的なところ、深層のところを揺るがす、地殻変動から起こっている理論ですので、現今の数学との違いをきちんと完全に言語化する、新しい数学の言語体系を、早急に作らなければいけないんじゃないか」
望月のかつての指導教授であったゲルト・ファルティングスの発言「望月は説明に力を入れるべきです。今はなぜ彼のアイデアがうまくいくのか分かりにくいのです。誰かが望月の理論を分かるように説明する言葉を見つけてくれればいいのですが…」
望月新一による論理展開を詳しく解説するレポート[24]の公開[25]「宇宙際タイヒミュラー理論」も参照
大衆文化において[編集]
乃木坂46の27thシングル「ごめんねFingers crossed」typeA CDに収録されている特典映像には、メンバーの林瑠奈とYouTuberのヨビノリたくみが出演した「ABC予想解説」が含まれている[26]。脚注[編集]
注釈[編集]

^ 例として、a = 1, b = 32n − 1, c = 32nのとき、全ての n について rad(abc) < 3c/4 が成り立つ。また、a = 1, b = 32n − 1, c = 32nのとき、全ての n について rad(abc) < 3c/2n+1が成り立つ。

^ なお、c = rad(abc) すなわち q(a, b, c) = 1 となるような abc-triple は1組もない。もし a < b を課さなければ (1, 1, 2) という1組だけがあるが、予想自体には支障をきたさない。

^ この主張と元のABC予想の主張の間に論理的な強弱関係はない。すなわち、ABC予想の主張の一部が弱められ、一部が強められている。この主張はen:Abc_conjectureでは「an effective form of a weak version of the abc conjecture」(ABC予想の弱いバージョンの有効な形(の一種))として言及されている。

^ ABC予想が K = 1 かつ ε = 1 で正しければ、互いに素な自然数 A, B, C が A + B = C を満たすとき C < (rad ABC)2 が成り立つ。互いに素な自然数 a, b, c が an + bn = cn を満たすと仮定すると、an, bn, cn は互いに素より、A = an, B = bn, C = cn を代入して

cn<(rad⁡anbncn)2displaystyle c^n<(operatorname rad a^nb^nc^n)^2 が成り立つ。一般に rad⁡xn=rad⁡x≤xdisplaystyle operatorname rad x^n=operatorname rad xleq x であるから、(rad⁡anbncn)2≤(abc)2<(c3)2=c6displaystyle (operatorname rad a^nb^nc^n)^2leq (abc)^2<(c^3)^2=c^6 となる。ゆえに cn < c6, c > 1 より n < 6。n = 3, 4, 5 については古典的な証明があるので定理が証明される。(山崎 2010, p. 11)

出典[編集]

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参考文献[編集]
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Bombieri, Enrico; Gubler, Walter (2006) (英語). Heights in Diophantine Geometry. New Mathematical Monographs. 4. Cambridge University Press. doi:10.2277/0521846153. ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1130.11034 
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Stewart, C. L.; Tijdeman, R. (1986). “On the Oesterlé-Masser conjecture” (英語). Monatshefte für Mathematik 102 (3): 251–257. doi:10.1007/BF01294603. 
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Stewart, C. L.; Yu, Kunrui (2001). “On the abc conjecture, II” (英語). Duke Mathematical Journal 108 (1): 169–181. doi:10.1215/S0012-7094-01-10815-6. 
関連文献[編集]

黒川信重「付録 数論の有名な予想のいくつか (1)abc予想」 『リーマン予想の探求 ABCからZまで』 118巻、技術評論社〈知りたい!サイエンス〉、2012年11月30日。ISBN 978-4-7741-5388-9。https://gihyo.jp/book/2012/978-4-7741-5388-9。2021年3月5日閲覧。 
黒川信重、小山信也 『ABC予想入門』 067巻、PHP研究所〈PHPサイエンス・ワールド新書〉、2013年3月18日。ISBN 978-4-569-81067-6。https://www.php.co.jp/books/detail.php?isbn=978-4-569-81067-6。2021年3月5日閲覧。 
黒川信重、小島寛之 『21世紀の新しい数学 〜絶対数学、リーマン予想、そしてこれからの数学〜』技術評論社〈知の扉シリーズ〉、2013年7月23日。ISBN 978-4-7741-5829-7。https://gihyo.jp/book/2013/978-4-7741-5829-7。2021年3月5日閲覧。 
S・ラング「Lecture II abc 予想」 『ラング数学を語る』 16巻、細川尋史 訳、シュプリンガー・ジャパン〈シュプリンガー数学リーディングス〉、2009年10月11日 (原著2009年)。ISBN 978-4431709084。 
S・ラング「Lecture II abc 予想」 『ラング数学を語る』 16巻、細川尋史 訳、丸善出版〈シュプリンガー数学リーディングス〉、2012年1月 (原著2009年)。ISBN 978-4-621-06204-3。https://www.maruzen-publishing.co.jp/item/b294249.html。2021年3月5日閲覧。  – 上記の新版
加藤文元 『宇宙と宇宙をつなぐ数学 IUT理論の衝撃』KADOKAWA、2019年4月25日。ISBN 978-4044004170。 
関連項目[編集]
数学上の未解決問題
ABC@home
Berkeley Open Infrastructure for Network Computingn予想(英語版)(abc予想の一般化)外部リンク[編集]

『ABC予想』 – コトバンク
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